Conhecimento, pensamento crítico, ou ambos?

Desde a virada do Século XIX para o Século XX a pedagogia vem crescentemente enfatizando o pensamento crítico como um dos principais objetivos da educação (Christodoulou, 2014, halpern, 2013, Hirsch, 2006, Sweller et al., 2011). O objetivo declarado da educação é formar cidadãos que sejam capazes de refletir criticamente e intervir de forma ética e socialmente construtiva sobre sua realidade. A mera  transferência de conhecimento ou aquisição mecânica de habilidades básicas de leitura, escrita e aritmética não são garantia de consecução dos nobres objetivos da educação.

O reverso da moeda, que muitos educadores parecem não perceber, é que sem algumas ferramentas culturais básica e muito simples, não é possível a construção e o exercício da pedagogia. Apenas memorizar a tabuada não é suficiente para resolver os problemas aritméticos colocados no dia a dia, tasic omo comparar preços expressos em diferentes razões ou calcular juros. Mas apenas compreender os princípios subjacentes, sem memorizar, não permite aplicar o conhecimento na prática cotidiana. Sem memorização dos fatos  aritméticos também não é possível evoluir para formas mais complexas de matemática.

A compreensão e a decoreba correspondem a dois tipos de conhecimento, os quais são complementares e não antagônicos (Baroody, 2003). O conhecimento procedimental e factual somente é adquirido após muito exercício e prática, sendo automatizado e facilmente acessível. Mas é relativamente inflexível e seu uso restringe-se a situações previamente aprendidas. Situações novas e inesperadas requerem um conhecimento mais adaptativo e flexível, o conhecimento conceitual. Os dois tipos são complementares. Memorizar os fatos sem compreender não aditanta nada. Mas compreender sem memorizar os fatos também é de pouca serventia.

As evidências oriundas da ciência e neurociência cognitiva ajudam a compreender como se processa a aprendizagem de habilidades escolares básicas. Foi reconhecida, p. ex., a importância do processamento fonológico para a aprendizagem da leitura de palavras em sistemas ortográficos, a importância do vocabulário e conhecimento de mundo para  a compreensão textual e do senso numérico para a aprendizagem da aritmética etc.

A psicologia cognitiva também avançou muito no estudo dos mecanismos do pensamento, da tomada de decisão e da metacognição bem cmo das suas limitações e vieses que tornam o pensamento crítico difícil de ser alcançado (halpern, 2013, Nisbett, 2015). Mais questionável é a possibilidade de ensinar habilidades de pensamento crítico, independente do domínio do conhecimento ao qual se aplica (Christodoulou, 2014, Hirsch, 2006, Sweller et al., 2011).

Essa é uma discussão antiga na psicologia e pedagogia. Platão acreditava que a aprendizagem da matemática e da lógica promoveria o pensamento racional. Os currículos universitários na Idade Média enfatizavam o Trivium, ou seja, o estudo de gramáticalatina, lógica e retórica. A partir da Renascença os currículos foram para ampliados para o Quadrivium, incluindo matemática e alguns ramos da ciência. Acrditava-se que as disciplinas abstratas e difíceisdo Quadrivium, cuja natureza é eminentemente formal, favoreceriam a construção de habilidades de raciocínio lógico, transferíveis de um domínio do conhecimento para o outro.

A transferência de conhecimento de um domíno para o outro ou capacidade de generalização é a principal limitação dos programas de instrução em pensamento crítico (Hirsch, 2006). A razão é simples, o raciocínio adequado exige conhecimento do domínio sobre o qual se aplica. Tente ler a sentença de um juiz se você for leigo em direito e você rapidamente se convencerá disso. Você conhece a maioria das palavras e não terá muita dificuldade em analisar a estrutura sintática das frases. Mas não entenderá patavina porque muitas palavras representam conceitos específicos do direito e não o significado usual  que elas têm na vida cotidiana.

Alguns programas de instrução em compreensão de textos ensinam os alunos a categorizar os textos em estilos, explicitando os componentes da gramática textual de cada tipo. OK. Só que a seguir o aluno aplica esses conhecimentos sobre um texto de um domínio do conhecimento e a seguir sobre outro e mais outro etc. etc. Não tem como funcionar. As habilidades de compreensão ou de pensamento crítico somente podem emergir a partir do momento em que o indivíduo adquire e aprofunda seu conhecimento sobre um determinado assunto.

Pensamento crítico e conhecimento andam de mãos dadas. Algumas formas de conhecimento factual, como vocabulário, e habilidades procedimentais, como a fluência na leitura de palavras, constituem pré-requisitos para a compreensão leitora.

Um problema semelhante é enfrentado pelos alunos de pós-graduação. São freqüentes as manifestações de desespero de alunos de pós-graduação no FaceBook. Sentem-se assoberbados e alguns até ousam criticar seus orientadores. O problema é que escrever uma dissertação de mestrado ou tese de doutorado exige tanto conhecimento específico do domínio quanto habilidades de pensamento crítico.

Dá preguiça de ler muitos projetos ou trabalhos de pós-graduação. Alguns alunos apresentam as informações sem qualquer hierarquia ou relevância para o argumento que deveriam desenvolver.  Muitas vezes a apresentação dos fatos parece obedecer apenas à ordem cronológica da leitura realizada pelos alunos. Não há uma análise crítica da relevância das publicações, nem identificação da seqüência lógica de evolução do conhecimento relevante para a questão sendo discutida. Outras vezes o aluno se revela totalmente incapaz de montar um argumento.

Qual é o remédio? Em primeiro lugar, adquirir conhecimento sobre o assunto. Realizar uma revisão bibliográfica completa. Identificar toda a literatura pertinente. Reconstruir a seqüência de evolução do conhecimento e discriminar as contribuições mais relevantes. Acho que 100 artigos originais está de bom tamanho para um mestrado. Um doutorado exige a leitura e análise de mais de 200 trabalhos originais.

Em segunda lugar é preciso adquirir habilidades de pensamento crítico. Hà toda uma literatura sobre isso (Halpern, 2013, Nisbett, 2015). Como foi discutido acima, é questionável a instrução em pensamento crítico se funciona ou não. Mas, certamente não vai atrapalhar conhecer a anatomia de um argumento (Halpern, 2013). O primeiro passo para fazer uma boa dissertação ou teste é construir um argumento que tenha lógica. Segundo Halpern, a a anatomia mínima de um argumento é composta por elementos essenciais e adicionais (vide Figura 1). Os elementos essenciais são constituídos por uma ou mais premissas e uma ou mais conseqüências. A conexão lógica entre as premissas e conseqüência é geralmente do tipo condicional, correspondendo a uma hipótese: “Se A então B”.

Os elementos adicionais são as pressuposições, as qualificações e os contra-argumentos. As pressuposições constituem toda a gama de conhecimentos e a cadeia de raciocínio que conduzem à formulação das premissas. As qualificações são aquelas situações que restringem a validade do argumento. Os contra-argumentos, como o nome diz, são as hipóteses alternativas.

Figura 1 – A anatomia de um argumento (cf. Halpern, 2013)

A validade do argumento é dada pela relação lógica entre as premissas e as conseqüências (vide Figura 2). Se não existe relação lógica alguma ou se as conseqüências são sustentadas por umas poucas premissas fracas, o argumento é inválido. O argumento válido é aquele sustentado por uma premissa única muito poderosa ou por múltiplas premissas mais fraquinhas que somam sua força.

Figura 2 – Validade de um argumento (cf. Halpern, 2013)

O exemplo da pós-graduação é muito ilustrativo. A capacidade argumentativa é de pouco valor  se não houver um conhecimento sólido, específico de domínio. Mas se o conhecimento for fragmentário  e não articulado em um argumento válido também é de pouca serventia. Mesmo o professor mais experiente, com habilidades de pensamento crítico desenvolvidas em mais alto grau, não se atreveria a escrever um trabalho acadêmico sobre qualquer área específica sem fazer previamente uma boa revisão bibliográfica.

Alguns autores sugerem que o conhecimento é fundamental e que não há como ensinar habilidades de raciocínio (Hirsch, 2006, Sweller et al., 2011). Segundo esses autores, os argumentos se auto-organizam a partir do conhecimento. Mesmo que isso seja verdade, não fará mal nenhum ao aluno de pós-graduação estudar a literatura sobre pensamento crítico. No mínimo ele vai aprender muita coisa sobre a psicologia cognitiva do pensamento e da tomada de decisão. No máximo pode até ajudar na redação da dissertação ou tese.

O importante na universidade é não negligenciar a revisão bibliográfica. O importante no ensino fundamental é não negligenciar a aquisição de fatos e habilidades procedimentais básicas. Pode ser que não seja possível ensinar habilidades de pensamento critico. Pode ser que sim. O que não é possível é querer construtir um pensamento crítico sem um sólido alicerce de conhecimento.

Referências

Baroody, A. J. (2003). The development of adaptive expertise and flexibility: the integration of conceptual and procedural knowledge.  In A. J. Baroody & A. Dowker (Eds.) The development of arithmetic concepts and skills. Constructing adaptive expertise (pp. 1-33). Mahwah, NJ: Erlbaum.

Christodoulou, D. (2014). Seven myths about education. London: Routledge / The Curriculum Centre.

Halpern, D. F. (2013). Thought and knowledge. Introduction to critical thinking (5th. ed.). New York: Psychology Press.

Hirsch, E. D. (2006). The Knowledge Defi cit: Closing the Shocking Education Gap for American Children. Boston: Houghton Mifflin.

NIsbett, R. E. (2015). Mindware. Tools for smart thinking. New York: Farrer, Strauss & Giroux.

Sweller, J., Ayres, P., & Kalyuga, S. (2011). Cognitie load theory. New York: Springer.

Como as crianças aprendem na escola? Contribuições das ciências cognitivas e comportamentais

1.   O que é aprendizagem?

Aprendiazagem é o processo pelo qual o cérebro-mente modifica sua estrutura em função da experiência. A aprendizagem é o processo, a memória ou conhecimento o resultado. O objetivo da aprendizagem é a modificação da memória de longo prazo.

2.   Existe um mecanismo neural genérico de aprendizagem?

O cérebro é concebido como uma grande rede associativa. A sinapse e não o neurônio é a sua unidade funcional. A experiência modifica os padrões de conectividade sináptica no cérebro. O mecanismo pelo qual os padrões de conectividade se modificam são os mesmos no desenvolvimento, aprendizagem e recuperação funcional. O envelhecimento reflete a redução da plasticidade sináptica. O mecanismo neural da aprendizagem é a plasticidade sináptica dependente de atividade ou lei de Hebb. Grupos de neurônios que são ativados simultaneamente em função de algum estímulo evento ou experiência tendem a reforçar sua conectividade sináptica, diferenciando-se em assembléias neurais ou redes associadas a processos psicoógicos específicos. Grupos de neurônios que não descarregam em sincronia têm sua conectividade mútua enfraquecida.

3. Quais são as principais formas de aprendizagem, relevantes para o contexto escolar?

A aprendizagem e memória podem ser não-declarativas ou declarativas. As memórias não-declarativas são aquelas que não podem ser traduzidas em enunciados verbais ou lógicos com valor de verdade. As principais formas de aprendizagem não-declarativa relevantes para o contexto escolar são os condicionamentos respondente e operante. As principais formas de aprendizagem declarativa são a aprendizagem conceitual e factual.

4.   O que é, qual é a base neurocognitiva e qual a relevância educacional do condicionamento respondente?

O condicionamento respondente, clássico ou pavloviano. é uma forma de aprendizagem na qual um comportamento reflexo ou previamente adquirido passa a ser eliciado por um estímulo que anteriormente não era eficiente em desencadeá-lo. A emoção de medo é desencadeada por estímulos percebidos como ameaçadores, tendo uma natureza reflexa. Experiências negativas na sala de aula, relacionadas ao fracasso em resolver atividades, reprimenda por parte de pais e professores ou chacota por parte dos colegas podem ser associadas a experiências aversivas desencadeando medo ou ansiedade de desempenho. O condicionamento de medo se estabelece a partir de  modificações sinápticas na amígdala, as quais são moduladas pelo córtex associativo peceptual (condicionamento discriminante), hipocampo (condicionamento contextual) e corte pré-frontal (extinção).

5.   O que é, qual é a base neurocognitiva e qual a relevância educacional do condicionamento operante?

O condicionamento operante é a forma pela qual  comportamentos exploratórios do ambiente são associados a suas conseqüências. Quando solicitada a resolver uma dada tarefa escolar a criança pode proceder por tentativa e erro até encontrar a solução. Uma vez encontrada a solução, a mesma é reforçada e tende a ser emitida no futuro sempre que a criança se confrontar com um problema semelhante. O condicionamento operante é o mecanismos da formação de hábitos e a aquisição de procedimentos. O mecanismo neural do condicionamento operante é a formação de associações entre representações do comportamento e das suas conseqüências hedônicas nos gânglios da base. O processo de condicionamento operante é modulado pela atividade dopaminégica oriunda do mesencéfalo. Sempre que  um comportamento é associado de forma inesperada a uma conseqüência, o sistema dopaminérgico é ativado.  O sistema dopaminérgico desepenha então um papel importante na sinalização de novidade, na curiosidade e na consolidação dos condicionamentos operantes.

6.   Qual é a arquitetura cognitiva mínima para a aprendizagem declarativa?

A aprendizagem declarativa também se processa de modo associativo no cérebro. Mas a sua arquitetura é um pouco mais complexa, dependendo da interação de sistemas mais diferenciados. Uma arquitetura mínima para a aprendizagem declarativa é comporta pela memória de longo prazo, memóerita de trabalho e motivação (vide Figura 1).

Figura 1 – Arquitetura cognitiva simples para a aprendizagem escolar. A aprendizagem depende de três componentes cognitivos. A memória de longo prazo é o sistema dinâmico e ilimiatado quanto à capacidade de representação de conhecimento, o qual é modificado permanentemente como resultado da aprendizagem. A memória de trabalho é o componente ativo, com capacidade limitada, que armazena temporariamente a informação, processando-a através de resgate a partir da memória de longo prazo, reconfiguração de associações, regulação da atividade mental e planejamento e controle das respostas. A motivação é a fonte energética que mantém a memória de trabalho ativa enquanto for necessário para que a aprendizagem se processe.

A memória de longo prazo não é um repositório passivo de informação mas uma estrutura dinâmica e flexível de conhecimento. A memória de longo prazo tem a estrutura de uma rede associativa, na qual os conhecimentos são representados de forma fragmentária e geograficamente dispersa por amplas regiões do córtex cerebral. A memória de longo prazo facilita a aprendizagem na medida em que permite a assimilação de informação nova à informação antiga. Simultaneamente, as estruturas de conhecimento na memória de longo prazo se acomodam à nova informação. Os fatos aritméticos são aprendidos em ordem crescente de dificuldade. Primeiramente são apresentados os números menores (p. ex., 2 x 3) e posteriormente os números maiores (3 x 2). O fato de que é mais fácil processar 3 x 2 do que 2 x 3 sugere que a memoria semântica reorganiza as representações dos fatos aritméticos e os  mesmos não são armazenados como simples cadeias de estímulos e respostas.

A memória de trabalho é o motor que ativa a memória de longo prazo durante a aprendizagem. A memória de trabalho recebe e processa a informação oriunda do ambiente. A memória de trabalho resgata e armazena a informação da memória de longo prazo. Na memória de trabalho são comparadas, associadas e compiladas as informações provenientes do ambiente e da memória de longo prazo. A memória de trabalho corresponde a todos os sistemas neurais ativos em um determinado momento e ao conteúdo dos quais o indivíduo tem acesso introspectivo. As estruturas do córtex pré-frontal, principalmente dorsolateral, são responsáveis pelos mecanismos associativos subjacentes à aprendizagem conceitual, tais como abstração e categorização. O hipocampo está envolvido na consolidação da aprendizagem conceitual como memória factual e no resgate da mesma. As principais características da memória de trabalho são a duração temporal fugaz e a limitação da capacidade de armazenamento e processamento. Se a informação não é refrescada na memória de trabalho ela decai em alguns segundos.  A capacidade representacional na memória de trabalho é de 6 a 7 bits e a capacidade de processamento é menor ainda, de 4 a 5 bits.

A motivação é a fonte energética que mantém o motor da memória de trabalho ativo. As limitações de duração e capacidade da memória de trabalho fazem da aprendizagem declarativa um processo complexo, que exige atenção e esforço. A ativação da memória de trabalho pode ser aversiva. As pessoas gostam dos resultados do pensamento, mas evitam o esforço de pensar. Ninguém nasce gostando de estudar. O gosto pelo estudo é adquirido sendo mediado cognitivamente. Para aprender a gostar de estudar o indivíduo precisa postergar a recompensa. Ou seja, precisa abrir mão de uma recompensa  menor imediata, como brincar, por uma recomopensa maior porém abstrata e projetada no futuro, como tirar boas notas ou passar no ENEM. A ativação da memória de trabalho requer, portanto, persistência e motivação.

7.   Como se processa a aprendizagem declarativa?

Quando surge uma situação problema, cria-se uma representação da mesma na memória de trabalho. Inicia-se então o processo de busca na memória de longo prazo por uma solução previamente adquirida. Caso seja encontrada uma solução na memória de longo prazo, o problema está resolvido e o indivíduo pode tratar da vida. Quando não existe uma solução previamente armazenada, duas são as alternativas: buscar a solução no ambiente ou criar uma nova solução, adaptando recursos previamente empregados para resolver problemas semelhantes. Quando a solução está facilmente acessível no Prof. Google ou na Dra. Wikipedia o problema está novamente resolvido. Quando não há uma solução de fácil acesso no ambiente, o indivíduo precisa pensar.

Pensar é uma atividade aversiva envolvendo processamento controlado, o qual requer atenção, custa esforço, é demorado, tem capacidade limitada e é muito sujeito a erro. As pessoas fogem do pensamento como o Diabo da Cruz. O pessoal somente recorre ao pensamento em último caso. Assim sendo, a formação de hábitos ou automatização é uma alternativa viável para reduzir a sobrecarga de memória de trabalho subjacente ao pensamento. William James considerava que a educação é a formação de hábitos e que a pessoa educada é aquela que cultiva bons hábitos. Quanto mais problemas puderem ser resolvidos no piloto automático, através de soluções previamente aprendidas e automatizadas, mais capacidade de processamento restará para o pensamento criativo ou para o lazer. O processamento automático é rápido, não requer atenção nem custa esforço, tem capacidade ilimitada e é pouco sujeito a erro. O problema com o processamento automático é a falta de flexibilidade e a especificidade de contexto. A solução de problemas novos requer processamento controlado. A automatização ou criação de hábitos ou conhecimento factual rapidamente resgatável é importante porque libera recursos escassos de processamento na memória de trabalho. A automatização é, inclusive, um pré-requisito para o pensamento crítico e criativo. O pensamento crítico e criativo torna-se impossível se o indivíduo é forçado a gastar seus escassos e preciosos recursos de processamento com as tarefas mais triviais. A seqüência de ativação cerebral no processo de aquisição de habilidades vai da ativação de regiões corticais anteriores nas fases iniciais. nas quais o processamento é controlado, para a ativação progressiva de áreas corticais posteriores ou subcorticais, à medida que ocorre a automatização.

8.   De onde vem a motivação para o estudo e como promove-la?

A motivação para o estudo é adquirida, sendo mediada cognitivamente pelos resultados e comportamentalmente pelo reforçamento. As fontes da motivação podem ser endógenas ou exógenas. A inteligência e o temperamente são as principais fontes de variação interindividual que afetam a motivação. Crianças mais inteligentes têm mais facilidade e, portanto, são mais facilmente motiváveis para o estudo. Crianças com temperamento impulsivo têm mais dificuldade para postergar a recompensa e, portanto, para implementar a mediação cognitiva necessária para adquirir o gosto pelo estudo.

As fontes exógenas da motivação são as experiências de sucesso e as crenças dos adultos. Quando a criança estuda e obtém um bom resultado, aumenta sua crença de que ela consegue resolver um dado tipo de tarefa (auto-eficácia) e a motivação para o estudo. Quando a criança obtém um resultado pior porque não se esforçou ou porque a tarefa era muito acima das suas possibilidades, a auto-eficácia diminui e com ela a motivação para o estudo. A experiência pessoal de sucesso é a pedra fundamental da auto-eficácia. A persuasção verbal apenas ajuda a destruir a auto-efiácia mas não a construí-la. A calibração do currículo à capacidade do aluno é a chave para a promoção da auto-eficácia e motivação para o estudo. Se o currículo é pecebido como muito difícil ou muito fácil, a motivação diminui. A motivação aumenta quando o currículo é percebido como estando ao alcance do individuo com um pequeno esforço.

As crenças dos adultos são outro fator motivador poderoso. Se pais ou professores acreditam que uma criança tem talento para aprender, a criança recebe mais atenção, atenção de melhor qualidade, mais explicações, mais correções, mais oportunidades para aprender e demonstrar seus conhecimentos, mais reforçadores etc. Assim, a criança acaba aprendendo mais.

O contrário acontece quando pais e professores acreditam que a criança tem menor potencial para aprender ou quando o comportamento da criança é percebido como inadequado. Nesses casos, o comportamento inadequado ou a dificuldade de aprendizagem são colocados em evidência sob a forma de punições, tais como reprimendas ou castigos. A conseqüência é que as dificuldades apenas aumentam e não diminuem.

A análise aplicada do comportamento desenvolveu ferramentas psicológicas eficazes para promover a motivação para o estudo, tais como a aprendizagem sem erro baseada na individualização do currículo, a atenção positiva e o reforçamento diferencial.

9. Quais são as implicações educacionais do conhecimento sobre os mecanismos neurocognitivos e comportamentais implicados na aprendizagem?

Todas as as formas de conhecimento, tais como hábitos, habilidades, procedimentos, fatos, conceitos, atitudes e valores importam. Nenhuma forma de conhecimento ou aprendizagem deve ser priorizada sobre as outras. Os métodos de ensino devem se adquar ao tipo de conhecimento a ser aprendido. A aprendizagem por imitação e colaboração/descoberta sobrecarregam a memória de trabalho em situações pouco estruturadas. A criança tende a proceder por tentativa e erro, consumindo recursos escassos e preciosos na descoberta da solução, a qual não é garantida, restando menos recursos para a aprendizagem propriamente dita. A instrução, o exercício e a prática desempenham um papel fundamental na aprendizagem conceitual e factual. Duas estratégias instrucionais poderosas são os exemplos ilustrados e a instrução programada. A motivação pode ser promovida através da aprendizagem sem erro, atenção positiva e reforçamento diferencial.

O que funciona: o construtivismo ou a instrução explícita?

Inúmeras pesquisas na área de educação procuraram responder a essa pergunta. Tais estudos foram sistematizados em diversas meta-análises. Hattie (2008) sintetizou os resultados de mais de 800 meta-análises. Os resultados são inequívocos, as crianças apendem mais e melhor pela instrução direta do que pela abordagem construtivista. As principais características das intervenções pedagógicas eficientes são a instrução explícita, uma base conceitual sólida e estratégias procedimentais eficientes no contexto de prática estratégica regular e cumulativa (Fuchs et al., 2012).

Por construtivismo entenda-se a filosofia pedagógica de valorizar a atividade do aluno, a “construção do conhecimento”. A idéia subjacente é que as  crianças aprendem por conta própria, interagindo com os colegas na resolução de situações-problema estruturadas pela professora (Matthews, 2002).

A professora propõe os problemas e os alunos devem buscar as soluções. O papel da professora se reduz ao de um andaime, que lhes permite construir o conhecimento. A professora interfere o mínimo possível, não demonstra, não sugere estratégias nem corrige os alunos.

Os alunos chegam às suas próprias conclusões, inventam suas próprias estratégias. A professora não instrui nem demonstra. Se os alunos não intuem as estratégias canônicas, culturalmente consagradas, fica por isso mesmo. O que se valoriza é a espontaneidade, o engajamento dos alunos com a situação problema e a construção do conhecimento a partir dos seus recursos cognitivos. A ênfase recai sobre a compreensão e não sobre a memorização ou “transmissão de conhecimento”.

No método instrucional, a professora introduz uma questão para reflexão pelos alunos. A seguir demonstra a solução ótima para o problema e os alunos emulam a estratégia demonstrada pela professora em pequenos grupos e/ou individualmente. A professora monitoriza o desempenho, corrige, demonstra novamente. Os alunos começam praticando com problemas mais simples, podendo servir-se de materiais concretos para  representar os componentes dos problemas. À medida que os alunos vão adquirindo maestria sobre os problemas em um determinado nível, a professora vai demonstrando as estratégias para resolver problemas crescentemente mais complexos etc. O método consiste basicamente em instrução seguida de prática com exemplos demonstrados (Sweller et al., 2011).

A crença dos construtivistas é que seu método seja superior porque motiva mais as crianças em função do caráter lúdico conferido às atividades, sendo ao mesmo tempo mais eficiente por promover uma base conceitual sólida, baseada na intuição do aluno. Será que é assim mesmo?

Uma exame direto da eficácia relativa das abordagens construtivista e instrucional foi realizado por Evelyn Kroesbergen da Universidade de Utrecht (Kroesbergen et al., 2014). O foco do estudo foi a aprendizagem dos fatos de multiplicação em crianças com dificuldades específicas de aprendizagem da matemática.

Duzentas e cinqüenta e cinco crianças com idades entre oito e onze anos receberam 30 lições de meia hora sobre fatos de multiplicação à razão de duas aulas por semana. As crianças foram divididas aleatoriamente em três grupos: a) Construção: aulas estruturadas a partir da perspectiva construtivista; b) Instrução: aulas estruturadas sob a forma de instrução seguida de exemplos demonstrados e prática; c) Regular: aulas baseadas na didática habitual de cada escola. Os desfechos foram avaliados comparando o desempenho no pré- e no pós-teste em medidas de Motivação, Automatização dos fatos, Solução de problemas e uso de Estratégias.

|Os resultados foram muito claros (vide Tabela 1). O grupo Construção foi superior ao grupo Regular em Motivação, Automaticidade e Solução de problemas, mas não foi superior no uso de Estratégias. O grupo Instrução foi superior aos grupos Regular e Construção em todos os quesitos avaliados.

Tabela 1 - Resultados de Kroesbergen et al. 2004

Como o método instrucional se mostrou superior aos dois outros em todos os quesitos, os efeitos são específicos. Ou seja, não podem ser atribuídos apenas à atenção especial recebida pelas crianças.

Dois resultados adicionais chamam atenção. A abordagem construtivista não foi superior ao ensino instrucional no que se refere à Motivação e nem foi superior ao grupo REegular no que se refere à diversidade de Estratégias empregadas. Esses resultados contrariam frontalmente os pressupostos construtivistas de que a abordagem seria mais motivadora bem como promotora da criatividade e do pensamento crítico.

Os resultados de Kroesbergen e cols. (2014) não são nem um pouco surpreendentes por diversos motivos. Do ponto de vista cognitivo, a falta de estrutura, definição clara do problema, demonstração e correção que caracteriza a abordagem contrutivistga sobrecarrega a memória de trabalho das crianças (Kirshner et al., 2010, Sweller et al., 2011).

Como se sabe, os recursos de processamento são escassos na memória de trabalho. E mais escassos ainda nas crianças que têm dificuldades (Raghubar et al., 2010). Então, realmente não é surpreendente que as crianças aprendam menos. Na abordagem construtivista, as crianças gastam seus parcos recursos cognitivos na busca pela solução do problema e resta menos capacidade para memorizar o que foi aprendido.

Os resultados motivacionais também não são surpreendentes. A abordagem lúdica, informal e ativa pode, a princípio, ser bem mais atraente para as crianças. Entretanto, a instrução e exemplos demonstrados promovem a auto-eficácia (Pajares & Schunk, 2002). Ou seja, a percepção pelo indivíduo de que ele domina uma técnica, um conteúdo, de que ele sabe e é eficiente na resolução de um tipo de problemas.

Sintetizando os resultados até o momento, pode-se dizer que a construção do conhecimento é divertida mas confunde as crianças, consumindo seus escassos recursos de processamento. Por outro lado, a instrução direta pode ser tediosa, mas promove a auto-eficácia.

O terceiro resultado é menos surpreendente ainda. O fato de que as crianças do Construção não foram superior ao grupo Regular no quesito Estratégias só demonstra uma coisa. As crianças não precisam do construtivismo para pensar. Elas pensam por conta própria. Mesmo as crianças do grupo Regular pensam, por mais surpreendente que isso possa ser para os construtivistas. Não é apenas em settings construtivistas que as crianças pensam. As crianças pensam o tempo todo e ficam tentando resolver os problemas que lhes são apresentados. Nâo é só na hora do teatrco construtivista que as crianças pensam e desenvolvem o “raciocínio crítico”.

As razões para a persistência da lenga-lenga construtivista podem parecer um mistério. Mayer (2004) chamou atenção para o fato de que, desde a Década de 1960 vêm se acumulando as evidências de que o construtivismo não funciona. Mas o construtivismo é como a Fênix, ressurge das cinzas, apenas com nomes diferentes. De acordo com Mayer, a cada vez  que uma estratégia construtivista se mostra ineficiente, a abordagem se disfarça sob um novo nome e o mesmo vinho velho é servido em uma garrafa nova. Foi assim que surgiram várias ondas de “minimal guidance”, “collaborative learning”, “discovery learning” etc. A mais nova onda é o “problem-based learning”, que está inclusive infestando as faculdades de medicina pelo País afora. E tudo isso contra a vontade dos pais e contra a opinião dos matemáticos profissionais (Klein, 2003).

O mistério apenas se desvanece quando percebemos que as razões para a sobrevivência do construtivismo são ideológicas. O construtivismo é tão resiliente porque compatível com a ideologia esquerdistas (Freire, 1981).  O construtivismo  é reprimido mas retorna porque é um dos principais instrumentos doutrinários da esquerda (Bernardin, 2012). A consciência crítica que ele pretende desenvolver é a consciência de classe, de gênero, de etnia etc. Ou seja, a criação de categorias sociais de indivíduos em conflito umas com as outras e a tematização de todos os assuntos humanos em termos de relações de poder e dominação.

Esses são os reais objetivos do construtivismo. Aprender os fatos aritméticos, tirar uma nota boa no PISA, passar no ENEM, fazer uma faculdade, arrumar um bom emprego, subir na vida: tudo isso é secundário. O que importa é questionar a ordem estabelecida. Realmente, precisamos refletir sobre os objetivos da educação.

O que construtivistas respondem quando são confrontados com as evidências? Um dos chavões prediletos é dizer que a filosofia construtivista jamais foi adequadamente implantada. Ou seja, que as crenças e práticas tradicionais de ensino, baseadas na decoreba são muito resistentes e difíceis de exterminar. Em grnade parte, isso pode ser verdade. Como o socialismo, o construtivismo real nunca foi adequadamente implantado. Quem sabe dessa vez vai?

Não menos verdade, entretanto, é o fato de que a ideologia construtivista domina a formação dos professores há décadas (). Como o construtivismo é muito influente do ponto de vista ideológico, as professoras acabam se confundindo e surge uma quimera extremamente original, o “construtivismo da reguada”. O construtivismo da reguada impera no Brasil. As professoras  não recebem uma formação adequada e têm muito pouco conhecimento para transmitir aos alunos. Mas o conhecimento transmitido  não importa. O que importa é o conhecimento construído. Como os alunos não constroem o tal conhecimento, então dá-lhe reguada neles.

Obs. Se você ficou interessado e deseja ler mais alguma coisa em Português, pode dar uma olhada em Haase & Júlio-Costa (2015) e Haase e cols. (2015).

REFERÊNCIAS

Bernardin, P. (2012). Maquiavel pedagogo. Ou o ministério da reforma psicológica. Campinas: Ecclesia/Vide.

Freire, P. (1981). Pedagogia do oprimido (9a. ed.). Rio de Janeiro: Paz e Terra.

Fuchs, L. S., Fuchs, D., & Compton, D. L. (2012). The early prevention of mathematics difficulty: Its power and limitations. Journal of Learning Disabilities, 45(3), 257-269.

Haase, V. G. & Júlio-Costa, A. (2015). Ciência cognitiva e educação: um diálogo necessário porém muito difícil. Associação Basileira do Déficit de Atenção.

Haase, V. G., Lima, B. A.C. R. & Júlio-Costa, A. (2015). A lenda do construtivismo. In R. Ekuni, L. Zeggio & O. F. A. Bueno (eds.) Caçadores de neuromitos. O que você sabe sobre o seu cérebro é verdade? (pp. 153-166).São Paulo: Mennon.

Hattie, J. C. (2009). Visible learning. A synthesis of over 800 meta-analyses relating to achievement. London: Routledge.

Kirshner, P. A., Sweller, J., & Clark, R. (2010). Why minimal guidance during instruction does not work: an analysis of the failure of constructivist, discovery, problem-based, experientail, and inquiry-based teaching. Educational Psychology, 41, 75-86.

Klein, D. (2003). A brief history of American K-12 mathematics education in the 20th century. In J. M. Royer (ed.) Mathematical cognition (pp. 175-225). Greenwitch, CO: IAP (Information Age Publisher).

Kroesbergen, E.H., van Luit, J.E.H. & Maas, C.J.M. (2004). Effectiveness of explicit and contructivist mathematics instruction for low-achieving students in the Netherlands. Elementary School Guidance and Counseling, 104, 233-251.

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Como as crianças aprendem a ler e escrever as palavras e os números?

Crianças que têm dificuldades para aprender a ler e escrever as palavras frequentemente também tem dificuldades para aprender aritmética. A co-ocorrência de dificuldades persistentes de aprendizagem da leitura (dislexia) e da aritmética (discalculia) constitui um exemplo de comorbidade.

A comorbidade entre dislexia e discalculia pode ser verdadeira em alguns casos. Ou seja, os mecanismos cognitivos subjacentes às dificuldades de leitura e de aritmética são distintos e a co-ocorrência dos dois fenômenos é obra do acaso.

Por outro lado, a co-ocorrência das dificuldades de aprendizagem de leitura e aritmética pode ser devida a um mecanismos cognitivo comum, que seja responsável pelas dois tipos de dificuldades. Tradicionalmente o processamento fonológico tems ido identificado como um importante correlato da aprendizagem da leitura. Pesquisas recentes estão mostrando que o processamento fonológico também é importante para a aprendizagem de diversos aspectos da aritmética também.

Por processamento fonológico entende-se a capacidade de acessar rapidamente as formas fonológicas das palavras (nomeação automatizada rápida), manter e processar essa informação na memória de trabalho fonológica e identificar e manipular conscientemente os sons constituintes das palavras (consciência fonêmica).

Além de ser um correlato da aprendizagem da leitura, o processamento fonológico tem sido consistentemente implicado na aprendizagem de alguns aspectos da aritmética, principalmente da habilidade de ler e escrever números nos diversos formatos (transcodificação numérica) e memorização dos fatos aritméticos.

Adicionalmente, crianças e adolescentes com dislexia apresentam um padrão bastante específico de dificuldades de aprendizagem da aritmética com dificuldades na leitura e escrita de números, memorização dos fatos e resolução de problemas verbalmente formulados.

É fácil compreender a razão pela qual a  memória de trabalho fonológica é importante para a memorização dos fatos aritméticos.

Os fatos aritméticos consistem de associações problemas-resposta para as operações mais simples e mais frequentes com apenas um algarismo. De tanto repetir essas operações, a criança acaba memorizando os resultados como fatos, os quais podem ser então resgatados automaticamente, O resgate de fatos aritmético facilita enormemente a aprendizagem de formas mais complexas de matemática, tais como cálculo multidigital.

A capacidade de representar, acessar, manter e manipular as informações fonêmicas é muito importante também para as tarefas  de transcodificação numérica.

Vejamos o que acontece na tarefa de ditado de numerais arábicos. O indívudo escuta um numeral que é ditado e, portanto, apresentado oralmente. A partir do numeral verbal ouvido, a criança precisa acessar sua forma fonológica e mantê-la na memória de cruto prazo para posterior processamento.

De posso das representações fonológicas, a criança busca na memória de longo prazo se já existe algum numeral correspondente àquele estímulo, o qual tenha sido lexicalizado pela repetição de frequente. Tal é o caso, p. ex., de datas históricas, marcas de carro ou de avião etc. A partir da  forma lexical de um número podem ser ativdos mais ou menos diretamente os mecanismos de transcrição no código arábico.

Se a forma fonológica do numeral verbal não corresponde a uma forma lexical previamente armazenada então o processo é um pouco mais complexo. Essas representações fonológicas precisam ser mantidas na memória de curto prazo enquanto é ativado um processo de transcrição passo a passo, bastante laborioso, de modo que ocorra a transcrição no código arábico.

É possível concluir então que as três formas de processamento fonológico (resgate rápido automatizado, representação na memória de curto-prazo e consciência fonêmica) são importantes para o processo de ditado de numerais arábicos.

Pesquisas conduzidas por Julia Beatriz Lopes-Silva (Lopes-Silva et al. 2014, 1016) no Laboratório de Neuropsicologia do Desenvolvimetno (LND) dão suporte empírico à hipótese do processamento fonológico como uma via comum entre a leitura e escrita de palavras e números.

A tarefa utilizada é o teste de supressão de fonemas, uma tarefa que avalia tanto a precisão das representações fonêmicas, quanto sua manipulação na memória de curto prazo. Na tarefa de supressão de fonemas a criança precisa descobrir qual a  palavra resultante da remoção de um fonema de uma palavras estímulo. P. ex., caída sem /i/ vira cada, pRato sem /r/ vira pato, cLaro sem /l/ vira caro etc.

Em um primeiro estudo foi observado que o desempenho na tarefa de supressão de fonemas é associado tanto ao desempenho em escrita de palavras quanto em escrita de numerais arábicos (Lopes-Silva et al., 2014). Os efeitos da memória de trabalho fonológica, operacionalizada pelo teste de digit span, sobre a transcodificação numérica são mediados pelo desempenho na tarefa de supressão de fonemas.

Posteriormente foi observado que o desempenho na tarefa de supressão de fonemas é preditivo tanto da leitura e escrita de palavras quanto de números. Quando se inclui a inteligência nos modelos de análise, os efeitos da memória de trabalho fonológica e visoespacial desaparecem, mas os efeitos da supressão de fonema continuam.

Ou seja, o desempenho em uma tarefa de processamento fonológico que avalia tanto a memória quanto a precisão das representações fonêmicas, é um elo comum entre a leitura e escrita de palavras e de números. O efeito do processamento fonológico permanece mesmo quando é estatisticamente controlada a influência da inteligência.

Esses resultados têm importantes implicações educacionais. Tarefas de manipulação de fonemas, as quais promovem a consciência fonêmica, são importante não apenas para a aprendizagem da leitura mas também para a aprendizagem da aritméticas. Tais tarefas inclui a identificação das letras das palavras, a identificação dos sons correspondentes às letras, a manutenção dos sons na memória por breves períodos de tempo, a pronúncia das palavras sem determinados sons, a troca de sons entre uma palvra e outra etc.

Referências

Lopes-Silva, J. B., Moura, R., Júlio-Costa, A., Haase, V. G., & Wood, G. (2014). Phonemic awareness as a pathway to number transcoding. Frontiers inPsychology,  5, 13 (doi:10.3389/fpsyg.2014.00013).

Lopes-Silva, J. B., Mour, R., Júlio-Costa, A., Wood, G., Salles, J. F., & Haase, V. G. (2016). What is specific and what is shared etween numbers and words? Frontiersin Psychology, 7, 22 (DOI: 10.3389/fpsyg.2016.00022).

Obs.: Os artigos citados são de acesso livre e podem ser consultados na internet.

Como as crianças aprendem aritmética?

A aritmética básica consiste nas habilidades de contar, fazer contas e memorizar os fatos aritméticos. A maioria das crianças adquire essas habilidades de modo intuitivo e às custas de muita prática.

CONTAR

Contar é a primeira atividade explicitamente matemática demonstrada pelas crianças. A contagem começa a partir dos dois ou três anos. Primeiro as crianças aprendem a recitar a série dos numerais verbais, p. ex., um, dois, três... até dez ou mais. Inicialmente isso é feito de forma não quantitativa. Ou seja, a criança não associa os numerais verbais a quantidades. A série de numerais verbais funciona como uma espécie de moldura seqüencial que vai gradualmente sendo associada às respectivas magnitudes numéricas. A criança vai aprendendo a contar aos pouquinhos. Apesar de poder recitar os números até dez, no início a criança pode fazer um uso quantitativo do numeral um apenas. Depois do dois, do três, até o quatro. À razão de um numeral por ano. A partir do cinco a criança começa a entender que cada número a mais acrescenta uma unidade numérica (princípio sucessor) e que o número final resultante da contagem corresponde à quantidade de itens no conjunto (princípio cardinal).  A contagem é geralmente efetuada com a ajuda dos dedos. As crianças aprendem a mostrar a idade com auxílio dos dedos e a série vai aumentando, à medida que os anos passam, que a habilidade sensoriomotor se aperfeiçoa e que a criança desenvolve o conceito de número. Os dedos constituem uma importante ferramenta para contar. Os dedos ajudam a estabelecer uma ordem fixa, a criar correspondências um para um entre os dedos e numerais e, à medida que se fixa o padrão de contagem nos dedos prevalente em um cultura, a ordem canônica, os dedos adquirem uma dimensão simbólica, passando a representar os números. As crianças com dificuldades de aprendizagem da aritmética são mais lentas para aprender a contar.

FAZER CONTAS

A partir do momento em que a criança intui o princípio de cardinalidade, ela está em posição para usar esse conhecimento na realização de operações aritméticas, iniciando pela adição. As operações começam a ser resolvidas no momento em que a criança entende que, além de acrescentar, somar significa contar dois ou mais conjuntos em sucessão. Uma série de estratégias é empregada de forma mais ou menos sistemática porém temporãmente sobreposta na resolução dos problemas por meio da contagem. No início a criança começa a contar a partir de qualquer número, independentemente da sua magnitude. Depois a criança aprende que é mais vantajoso contar a partir do maior. Algumas crianças passam por uma fase de contar sistematicamente a partir do primeiro, independentemente de ser o maior ou o menor. Inicialmente a resolução por contagem também se serve dos dedos. Na maioria das crianças o uso dos dedos fornece um apoio concreto à realização das operações, aliviando a carga de memória de trabalho. Numa segunda fase as crianças não precisam mais usar os dedos e contam verbalmente para resolver os problemas. Adquirida a adição simples, a conseqüência lógica é intuir a multiplicação (adição repetida) e a subtração (inverso da adição). Com a experiência a criança começa a memorizar as associações entre problemas e soluções, adquirindo os fatos aritméticos para as operações simples de adição e multiplicação. A expansão dos repertório de operações aritméticas conhecidas permite utilizar a estratégia de decomposição para resolver problemas mais complexos. A divisão é mais difícil e sua aprendizagem geralmente requer algum tipo de intervenção pedagógica. As crianças com dificuldades de aprendizagem da aritmética começam a usar a contagem para resolver problemas mais tarde e persistem usando a contagem por mais tempo.

FATOS ARITMÉTICOS

A prática com a resolução de problemas aritméticos simples com um algarismo leva à memorização das associações entre problemas e respostas como fatos aritméticos. Apenas os fatos de adição e subtração são memorizados. Não existem fatos de subtração e de divisão porque essas operações não são comutativas. Ou seja, para realizar a subtração e divisão é sempre necessário determinar qual número é o maior. Assim as associações problemas-respostas para subtração e divisão não podem ser armazenadas em formato puramente verbal.

Os fatos aritméticos passam então a constituir um domínio especializado da memória semântica verbal. Quando automatizados, podem ser resgatados rapidamente e auxiliar na resolução de problemas progressivamente mais complexos.

Os fatos aritméticos ou tabuadas constituem uma das maiores realizações civilizatórias. A aprendizagem dos fatos exige algum tipo de intervenção pedagógica porque requer muita prática e motivação. A aquisição dos fatos é um processo difícil, laborioso e lento. Para ter uma idéia da dificuldade envolvida na tarefa, tente memorizar a lista abaixo:

João é carteiro e mora na rua das Hortênsias

Pedro é padeiro e mora na rua das Camélias

Pedro é professor e mora na rua das Hortênsias

José é pedreiro e mora na rua das Rosas

Roberto é padeiro e mora na rua das Margaridas

Paulo é carteiro e mora na rua das Camélias

Joaquim é padeiro e mora na rua das Rosas

Mário é padeiro e mora na rua das Rosas

Tiago é professor e mora na rua das Margaridas

Samuel é professor e mora na rua das Rosas

Manuel é pedreiro e mora na rua das Rosas

Pedro é pedreiro e mora na rua das Hortênsias

É extremamente difícil memorizar essa lista. A tarefa demandaria horas e dias de trabalho exaustivo. A dificuldade deriva do fato de que os itens ocorrem de forma recorrente e não se associam a um significado inerente. A memorização dos fatos é uma situação parecida. As associações problemas-respostas não são arbitrárias apenas porque resultam dos procedimentos de contagem. O significado então é inferido a partir dos conceitos e procedimentos envolvidos em cada operação. E o processo pecisa ser repetido inúmeras vezes até que as associações se consolidem na memória de longo prazo.

A alternativa ao exercício é a decoreba verbal. A qual é mais difícil ainda. Estudos de neuroimagem mostram que a aprendizagem estratégica, resolvendo os problemas, é mais eficiente do que a decoreba. Entretanto, os padrões de ativação cerebral entre as duas são complementares. A decoreba ativa um padrão mais localizado de áreas corticais em torno da região perisilviana esquerda da linguagem. A aprendizagem estratégica ativa uma rede mais complexa de áreas corticais, incluindo áreas parietas envolvidas na imaginação e representação visoespacial. A utilização dos dois métodos de forma complementar pode ser vantajosa.

A dificuldade na aquisição dos fatos aritméticos é causada pelas demandas impostas ao processamento na memória de trabalho. Como os itens dos problemas e de muitas soluções são recorrentes, além de manter as associações problemas-respostas na memória é preciso inibir as respostas concorrentes errôneas. A aprendizagem ineficiente ou errônea dos fatos é um dos principais empecilhos à aprendizagem da aritmética e constitui o sintoma cardeal da discalculia do desenvolvimento.

As pesquisas neurocognitivas estão permitindo desenvolver um modelo da aprendizagem dos fatos aritméticos pela criança. Inicialmente a aprendizagem demanda processamento controlado. O processo é lanto, laborioso, exige atenção consciente, é muito propenso a erro e demanda esforço mental. O processamento controlado inicial ativa áreas do córtex pré-frontal esquerdo, principalmente na superfície dorsolateral.

Nessa fase inicial ocorre ainda ativação de áreas do sulco parietal esquerdo responsáveis pela avaliação da magnitude numérica e manipulação dos símbolos numéricos.

A consolidação das associações entre problemas e respostas depende de sua elaboração no hipocampo. A ativação hipocampal durante a aquisição dos fatos aritméticos tem sido obsevada apenas em crianças e não em adultos.

Finalmente, com a experiência o processo vai se automatizando, tornando-se mais rápido, eficiente, menos laborioso e menos sujeito a erro. Com a automatização o foco de ativação cerebral move-se para áreas corticais posteriores, concentrando-se na região do giro angular.

BOOTSTRAPPING CONCEITUAL

Como as crianças aprendem a aritmética? Ninguém sabe. Os conhecimentos disponíveis são apenas descritivos e não explicativos. É possível afirmar que a aprendizagem da aritmética envolve intuição e prática. O papel desempenhado pela prática é fácil de compreender. A prática automatiza um  procedimentos, transformando-o em segunda natureza.

O papel da intuição é mais difícil de compreender. Um modelo especulativo para o desenvolvimento do coneito de número e muitas outras categorias é o bootstrapping conceitual. Literalmente, bootstrapping significa erguer-se levantando-se pelos cadarços das próprias botas. O termo é usado em ciência cognitiva para descrever processos auto-organizatórios, nos quais um sistema vai se construindo à medida que funciona. O desenvolvimetno cognitivo pode ser comparado a um avião que vai sendo construído em pleno vôo.

De acordo com a hipótese de bootsrapping conceitual, a aprendizagem da aritmética resulta da interação entre primitivos conceituais e procedimentais. As operações realizadas com os conceitos levam à emergência de novos conceitos e novas operações e assim sucessivamente. De uma certa forma, a hipótese de bootstrapping representa uma solução de compromisso entre a perspectiva inatista e construtivista.

Os primitivos conceituais são a habilidade de quantificar de forma precisa pequenos conjuntos (subitizing) e a habilidade de estimar de forma aproximada grandezas maiores (sistema numérico aproximado). O primitivo operacional é a habilidade de adquirir a recitação da série dos numerais  verbais.

Com a prática, a criança vai aprendendo a associar a série dos numerais verbais com o seu significado quantitativo. Isso ocorre de forma lenta, à razão de um algarismo por ano, e envolve apenas as grandezas pequenas. Até chegar ao número cinco, quando ocorre uma explosão conceitual e a criança capta os princípios da sucessão e cardinalidade, generalizando-os e associando o processo com todas as grandezas numéricas possíveis. Assim, o significado numérico representado no sistema numérico aproximado vai sendo conectado aos numerais simbólicos e tornadno o conceito de número progressivamente mais exato e abstrato.

Um processo semalhante ocorre com as operações e os fatos aritméticos. A criança pratica com primitivos conceituais inatos. Pratica e pratica até que ocorre uma mudança qualitativa e ela intui um princípio novo, um conceito derivado, o qual é generalizado para outras situações. Outras situações essas que são praticadas e praticadas até que...

Segundo a perspectiva do bootstrapping conceitual não existe oposição entre conhecimento conceitual e conhecimento procedimental. Um leva ao outro. A interação de primitivos conceituais e operacionais leva à emergência de uma série sucessiva e integrativa de conceitos e procedimentos derivados cada vez mais complexos.

Segundo essa perspectiva não existe, então, incompatibilidade entre a compreensão conceitual aritmética e a aprendizagem dos algoritmos e fatos. Uma leva a outra. Uma depende da outra. Executar os algoritmos ou memorizar os fatos sem compreendê-los é de pouca utilidade. Mas apenas compreender também não tem utilidade prática alguma.

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